概率论与数理统计

概率论与数理统计

《概率论与数理统计(陈希孺)》读书笔记

一、事件的概率

  • 古典概型:
    • 定义:设一个试验有$N$个等可能的结果,而事件E恰包含其中的$M$个结果,则事件E的概率$P(\text{E})$定义为:$$ P(\text{E}) = M/N$$
    • 局限性:只能用于全部实验结果为有限个,且等可能性成立的情况。
    • 几何概型:将上述概念映射到试验结果有无限多的情况
    • 计算:
      • 排列:$n$个相异物取$r$个的不同排列数——$A_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}$
      • 组合:$n$个相异物取$r$个的不同组合数——$C_n^r = \frac{A_n^r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$,因为每一个包含$r$个物件的组合,可产生$r!$个不同的排列
      • 因此,有二项展开式$(a+b)^n = \sum_{i=0}^n C_n^i a^ib^{n-i}$,因为为了产生$a^ib^{n-i}$,要从$i$项中取中$a$,另外$n-i$项中取出$b$,取法有$C_n^i$种
      • $n$个相异物分成$k$堆,各堆分别有$r_1$、$\cdots$、$r_k$个物体的分法有:$$C_n^{r_1} C_{n-r_1}^{r_2} \cdots C_{n-\cdots-r_{k-1}}^{r_k} = \frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}$$
      • 条件概率:
    • 互斥、对立、独立事件:对立必互斥,相加是互斥(加法定理),相乘是独立(乘法定理)
    • 两事件独立需要满足的条件:$P(A) = P(A\vert B)$,又有条件概率$P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$,则$P(AB) = P(A)P(B)$
    • 相互独立必两两独立,反之则不一定
    • 贝叶斯公式:$$P(B_i\vert A) = \frac{P(B_i)P(A\vert B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A\vert B_j)}$$

二、随机变量及概率分布

参考资料

  1. 概率论与数理统计(陈希孺)-豆瓣

更新历史:

  • 2019.07.03 第一章
# Math

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